سخنرانی علمی « ریاضیات مفهومی و مهار کردنِ بی‌نهایت (تولد ریاضیات مدرن توسط ددکیند، ریمان و کانتور)» برگزار شد.

 سخنرانی علمی « ریاضیات مفهومی و مهار کردنِ بی‌نهایت (تولد ریاضیات مدرن توسط ددکیند، ریمان و کانتور)» روز ۱۰ تیر ماه ۱۳۹۶ توسط یحیی شعبانی ارائه شد. چکیده سخنرانی به قرار ذیل است؛

در ۱۸۵۵ پس از مرگ گاوس، دیریشله برلین را به مقصد گوتینگن ترک نمود تا در آنجا کرسی ریاضیات را که پیشتر به گاوس تعلق داشت بر عهده بگیرد. ملاقات با دیریشله و درسگفتارهای وی ددکیند را به شدت تحت تأثیر قرار داد. یکی از دلایل این امر پیوند آموزش و پژوهش در نحوه تدریس ریاضیات توسط دیریشله بود که اساساً رویکردی بود متعلق به دانشگاه کونیگزبرگ و برلین. ددکیند که تا آن زمان رساله دکتری (درباره‌ی انتگرال‌هال اویلری) و رساله استادی خود را زیر نظر گاوس گذرانده بود چندان به اندیشه‌های دیریشله نزدیک شد که پس از مرگ دیریشله در سال ۱۸۵۹ ویرایش سخنرانی‌های وی درباب نظریه اعداد به ددکیند واگذار شد. ددکیند بنا بر درخواست ناشر در یکی از ویراست‌ها افزوده‌هایی را به متن اضافه کرد. وی در این ویراست‌ها مجال آن را یافت تا کار اصلی خودش را نیز به دست مخاطبان حرفه‌ای برساند (پیوست‌های ۱۰ و ۱۱). بدین ترتیب ددکیند پیشرفت‌های فراوانی را در مقایسه با دیریشله انجام داد. در این پیوست‌ها بود که ددکیند نخستین بار مفهوم اعداد جبری، میدان، مدول و ایدئال را طرح کرد. پیوست ۱۰ عموماً محل تولد جبر مدرن فرض می‌شود. به عنوان مثال ادموند لاندائو در ۱۹۱۷ می‌نویسد که ددکیند با تأسیس نظریه میدان‌های جبری نور را به درون تاریکی، نظم را به درون آشوب آورد و روش‌هایی که ابداع کرده بود تأثیر خوبی بر دیگر مسائل نظریه اعداد و جبر گذاشت. به تعبیری می‌توان این پیوست را محل تولد رویکرد نظریه مجموعه‌ای به مبانی ریاضیات هم دانست. در مجموع یکی از مهمترین سرچشمه‌های ریاضیات مدرن در همین پیوست‌ها قرار دارد.

نوشته‌های ریاضی ددکیند اغلب مرتبط هستند با نظریه‌ی اعداد جبری. ددکیند در کنار آثار ریاضی عمیقاً در سرتاسر عمرش درگیر مبانی ریاضیات (به ویژه عرضه‌ی تعریفی متقن برای نظام اعداد و تثبیت مبانی حساب) هم بود. دو اثر ددکیند که از مهمترین آثار وی به شمار می‌روند اختصاص به این موضوعات داشته است: پیوستگی (تداوم) و اعداد اصم در ۱۸۷۲  و اعداد چه هستند و چه باید باشند؟ در ۱۸۸۸. در نخستین مقاله ددکیند اعداد اصم را از طریق برش‌هایی تعریف می‌کند که امروزه به برش‌های ددکیند معروفند و از زیباترین ساخت‌های ریاضی به شمار می‌روند. آنچه در این برش‌ها صرفنظر از تکنیک فوق‌العاده‌ی آن اهمیت دارد  ساختن اعداد حقیقی بر حسب ساختارهایی بود که حدی نیستند (یعنی مبتنی بر نظریه‌ی آنالیز و دنباله‌ها نیستند چنان که مثلاً در مورد کوشی ملاحظه می‌کنیم). به نظر می‌رسد در این نحوه و رویکرد برای ساختن و تثبیت R ریاضیات از رویکرد الگوریتمی فاصله می‌گیرد و گامی به پیش بر می‌دارد. آنچه از حیث فلسفی در این ساختار اهمیت شایان دارد «مهار» کردن بی‌نهایت به مثابه یک مفهوم است. برای فهم اهمیت این نکته نزد ددکیند باید به شرایط تاریخی ریاضیات در انتهای نیمه دوم قرن نوزدهم نگاه کنیم. آنچه برای ما اهمیت دارد تقابل ریاضیات الگوریتمی و ریاضیات مفهومی است. در شرایط تاریخی اشاره شده در آلمان دو رویکرد به ریاضیات وجود داشت که ظاهراً در تکوین ریاضیات مدرن نقش به سزایی ایفا کرده‌اند و با کمی ساده‌سازی می‌توان آنها را ریاضیات مکتب برلین (رویکرد الگوریتمی) و ریاضیات مکتب گوتینگن (ریاضیات مفهومی) نامید. البته در اینجا صحبت از اصطلاح مکتب صرفاً برای تسهیل بحث است و در واقع امر نمی‌توان از مکتب سخن گفت. از مهمترین نمایندگان رویکرد نخست لئوپولد کرونکر است و از مهمترین نمایندگان دسته دوم می‌توان به ددکیند و کانتور اشاره کرد. منازعه‌ی این دو رویکرد در حوزه‌های مختلفی رخ داده است و از آن میان بر حسب نیاز می‌توان از این موارد نام برد: اعداد حقیقی، اعداد گنگ، اعداد متعالی، اعداد جبری، بزرگترین عدد حقیقی، مفهوم بی‌نهایت، نظریه مجموعه‌ها و مفهومِ برساخت. اما به نظر می‌رسد مهمترین عرصه‌ی تقابل بین این دو رویکرد بحث استفاده از نطرورزی فلسفی در ریاضیات است دسته اول حاضر نبود بهشت امن ریاضیات بالفعل را رها کند در حالی که دسته دوم از این خطر استقبال می‌کرد. ریاضیاتِ رها از مفاهیم فلسفی شعار دسته اول بود و از این حیث آنچه اهمیت وافر داشت فرمول‌های ریاضی بود. ریاضیات حقیقی جوهر و سرشت خود را در به اصطلاح چیزی نشان می‌دهد که امروزه ریاضیات الگوریتمی می‌نامیم. ریاضیدانان بزرگ نیمه نخست قرن نوزدهم چنین باوری داشتند. به عنوان مثال آنها بینهایت را نوعی وراجی می‌دانستند و آن را از ریاضیات طرد می‌کردند (مثلاً گاوس). به عنوان مثال دیریشله گمان می‌کرد حتی عمیق‌ترین قضایای جبر و آنالیز را می‌توان چونان گزاره‌هایی درباره اعداد طبیعی صورتبندی کرد. آبل، گالوا و کومر در این زمان به محاسبات و الگوریتم‌ها گرایش عیان داشتند. (البته ناگفته نماند که در این جا الگوریتم اهمیتی نظری دارد نه عملی، یا به عبارتی در اینجا معنای الگوریتمی مهم است نه محاسبه‌ی الگوریتمی!!). اما ظهور نظریه مجموعه‌ها چنین برداشتی از ریاضیات را به محاق برد. واکنش ریاضیات الگوریتمی به ظهور نظریه مجموعه‌ها (ریاضیات مفهومی) در این گفته‌ی کناییِ کرونکر مشهود است: «بسط نظریه مجموعه‌ها یعنی تلاش برای احاطه بر مفهومِ کلی‌ترین عدد حقیقی». کرونکر به شیوه‌ای طنازانه به فردیناند لیندمان گفته بود: «کاربرد پژوهش‌های زیبای تو درباره‌ی عدد پی چیست؟ چرا به چنین مسائلی می‌اندیشی وقتی اعداد اصم وجود ندارند؟» البته این عبارات اغراق آمیز به این معنا نیست که کرونکر پژوهشی درباره اعداد گنگ ندارد (کرونکر سخنرانی‌هایی درباره اعداد متعالی دارد). کرونکر یکی از استادان بزرگ در نظریه تحلیلی اعداد است که مهمترین مسئله‌ی آن توزیع اعداد اول در Z است. اما با این حال روی خوشی به مهمترین مسایل مطرح در آن زمان در حوزه نظریه اعداد نشان نمی‌دهد، مثلاً پر کردن شکاف‌های موجود در یک پیوستار (خط اعداد حقیقی) یکی از این مسائل است: مسئله در واقع خلق نقاط منفرد برای پر کردن شکاف بین اعداد صحیح بر روی خط است. این مسئله به یکی از مهمترین مسائل قرن نوزده و بیست تبدیل شد (ساختنِ R). به نظر ریاضیدانان الگوریتمی این مسئله امری عبث است مثل تلاش قدما برای اثبات اصل توازی اقلیدس. امروزه البته گفته می‌شود که خط اعداد حقیقی تشکیل شده است از اعدادی حقیقی که شمارش ناپذیر هستند و این خط (و ساختن آن) به مثابه یک مجموعه‌ی توپولوژیک کامل است. با نگاه امروزی حرفهای امثال کرونکر درباره خط اعداد حقیقی کفر مسلم است. در واقع مجموعه کل اعداد حقیقی به نظر امثال کرونکر ناضروری بود به همین دلیل در آثار این ریاضیدانان درباره مبانی ریاضیات چیزی نمی‌بینیم (این بحث‌ها غیرضروری است!!!). برساخت اعداد حقیقی به نظر آنها چندان غیرضروری بود که سعی کردند بدون داشتن و فرض آن کار خود را به پیش ببرند (خط اعداد حقیقی مفهومی خوش تعریف نبود). البته نباید از انصاف گذشت، تاریخ ریاضیات در قرن بیستم تاریخ ناکامی‌های پی در پی در خصوص مواجهه با بینهایت به طریقی متقن بوده است: پارادکس‌های نظریه مجموعه ها، قضیه ناتمامیت گودل، استقلال قضیه پیوستار و استقلال اصل انتخاب، مدل‌های نااستانده برای اعداد حقیقی و بیش از همه دنباله‌های انتخاب براوور به خوبی گویای این شکست‌ها است. از این نظر کرونکر و دیگر ریاضیدانان در این دسته پیشگویان خوبی بودند. ریاضیات مدرن پرداختن به بینهایت به نحو متقن را ضروری دانست. در زمینه‌ی تقابل این دو رویکرد است که مباحث طرح شده توسط ددکیند در نظریه اعداد اهمیت می‌یابد. یکی از روایت‌ها می‌تواند این باشد که ریاضیات در انتهای قرن نوزدهم به سمت قرائت مفهومی گرایش پیدا کرد و این امر از منسوخ شدن رویکرد کرونکر و رواج دیدگاه کانتور و ددکیند مشخص می‌شود (البته این قرائت مخالفانی نیز دارد که بیشتر آنها را می‌توان کسانی دانست که دستی در ریاضیات محاسباتی و استفاده از کامپیوتر در ریاضیات دارند). جنبه‌های مهمی از تقابل بین این دو رویکرد را می‌توان در مخالفت کرونکر با نظریه مجموعه ها ملاحظه کرد.